如图.在平面直角坐标系中.抛物线y=-x2+bx+c与y轴交于点A.点B与点A关于对称轴对称.过点B作BC⊥x轴.垂足为C.连结OB．(1)求二次函数的解析式.并求出点B的坐标．(2)把△AOB以每秒1个单位的速度向右平移.得到△PDE.PE交OB于点F.PD交BC于点M.设向右平移运动的时间为t(s)．设平移过程中与△OBC重叠部分的面积为S.试探求S 与t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c与y轴交于点A（0，3），且经过点（5，-2），点B与点A关于对称轴对称，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，连结OB．

（1）求二次函数的解析式，并求出点B的坐标．
（2）把△AOB以每秒1个单位的速度向右平移，得到△PDE，PE交OB于点F，PD交BC于点M，设向右平移运动的时间为t（s）．设平移过程中与△OBC重叠部分的面积为S，试探求S 与t的函数关系式，并求当t为何值时，S最大？
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使△OCE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）将点（0，3）和（5，-2）代入即可求出b、c的值，进而得解，再由点A与点B对称可以求出点B的纵坐标为3，进而得解；
（2）根据平移的性质，以及垂直等条件，可以判断四边形EPCB是矩形，△BEF≌△PCM，进而可以用含有t的式子表示出四边形BFPM的面积，利用配方法可以得解；
（3）从OE=OC，EC=OC，OE=EC三个方面进行解答，即可得到本题的答案．

解答解：（1）将点（0，3）和（5，-2）代入y=-x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{-25+5b+c=-2}\end{array}\right.$，
解得：b=4，c=3，
∴y=-x²+4x+3，
∵点B与点A关于对称轴对称，
∴3=-x²+4x+3，
解得：x=0或x=4，
∴B（4，3）；
（2）由平移的性质可知，BO∥BD，OA∥PE，
∵OA⊥x轴，BC⊥x轴，∴EP⊥x轴，
又AB∥OC，∴∠EPC=∠BCP=∠BEP=∠EBC=90°，
∴四边形EPCB是矩形，
∴BE=PC，
∠ABO=∠BOC，∠BOC=∠MPC，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CP}\\{∠BEP=∠BCP}\\{∠ABO=∠MPC}\end{array}\right.$
∴△BEF≌△PCM（ASA），
当△AOB向右平移运动的时间为t（s）时，
BE=4-t，EP=3，AE=t，
∴四边形EPCB的面积为：3（4-t），
设直线OB的解析式为y=kx，将点B（4，3）代入得：
3=4k，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
∴y=$\frac{3}{4}$x，
∴F（t，$\frac{3}{4}$t），
∴S_△BEF=S_△PCM=$\frac{1}{2}$（4-t）（3-$\frac{3}{4}$t），
四边形BFPM的面积为：
S=3（4-t）-（4-t）（3-$\frac{3}{4}$t）=$-\frac{3}{4}{t}^{2}+3t$
=$-\frac{3}{4}$（t-2）²+3，（0≤t≤4），
当t=2时，S有最大值，最大值是3；
（3）①当OE=EC时，AE=OP=$\frac{1}{2}$OC=2，
②当OE=OC=4时，AE²+OA²=OE²=OC²，即：t²+9=16，
解得：t=$\sqrt{7}$或t=$-\sqrt{7}$（舍）；
③当EC=OC=4时，
BE²+BC²=EC²，即：（4-t）²+9=16，
解得：t=4+$\sqrt{7}$（舍）或t=4-$\sqrt{7}$，
∴t=2或t=$\sqrt{7}$或t=4-$\sqrt{7}$，
则E点坐标为：（2，3）或（$\sqrt{7}$，3）或（4-$\sqrt{7}$，3）．