Question

3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD=2$\sqrt{5}$，AB⊥CD于E点，延长AB到F，使得BF=$\frac{1}{2}$OB，连接CF，若CF是⊙O的切线．求：⊙O的半径．

Answer 1

分析 首先证得△COF∽△EOC，再由BF=$\frac{1}{2}$OB，得出OE与OC的比，进一步求得CE，在直角三角形OEC中利用勾股定理求得答案即可．

解答 解：∵CF是⊙O的切线
∴∠OCF=90°，
∴∠OCF=∠OEC，
∵∠COF=∠EOC
∴△COF∽△EOC，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}$
∵$BF=\frac{1}{2}OB$，
∴$\frac{OB}{OF}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{OC}{OF}=\frac{2}{3}$，
∵AB⊥CD于E，
∴$CE=DE=\frac{1}{2}CD=\sqrt{5}$，
设OE=2x，则OC=3x．
∵OC²=OE²+CE²，
∴${（3x）^2}={（2x）^2}+{（\sqrt{5}）^2}$，
∴⊙O的半径为3．

点评 此题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂径定理，注意结合图形，灵活利用数据解决问题．