题目内容
19．
已知：如图，平面直角坐标系中有一个等腰梯形ABCD，且AD∥BC，AB=CD，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴上（点B在点C的左侧），点D在第一象限，AD=3，BC=11，梯形的高为2，双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点D，直线y=kx+b经过A、B两点．（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）求双曲线y=$\frac{m}{x}$和直线y=kx+b的解析式；
（3）点M在双曲线上，点N在y轴上，如果四边形ABMN是平行四边形，求点N的坐标．
分析 （1）首先过点D作DH⊥x轴于点H，由AD∥BC，AB=CD，易得四边形AOHD是矩形，证得Rt△ABO≌Rt△DCH，又由AD=3，BC=11，梯形的高为2，即可求得答案；
（2）由双曲线y=$\frac{m}{x}$过点D，直线y=kx+b过点A，B，直接利用待定系数法求解即可求得答案；
（3）由四边形ABMN是平行四边形，可得点M的横坐标为-4，继而求得点M的坐标，又由AN=BM，求得答案．
解答 
解：（1）如图1，过点D作DH⊥x轴于点H．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∵AO⊥x轴，
∴四边形AOHD是矩形，
∴AO=DH，AD=OH，∠AOB=∠DHC=90°，
在Rt△ABO和Rt△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=DH}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABO≌Rt△DCH（HL）．
∴BO=CH，
∵梯形的高为2，
∴AO=DH=2．
∵AD=3，BC=11，
∴BO=4，OC=7．
∴A（0，2），B（-4，0），C（7，0），D（3，2）；
（2）∵双曲线y=$\frac{m}{x}$经过点D（3，2），
∴m=xy=6．
∴双曲线的解析式为：y=$\frac{6}{x}$，
∵直线y=kx+b经过A（0，2）、B（-4，0）两点，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x+2；
（3）如图2，∵四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN且BM=AN．
∵点N在y轴上，
∴过点B作x轴的垂线与双曲线y=$\frac{m}{x}$的交点即为点M．
∴点M的坐标为M（-4，-$\frac{3}{2}$），
∴BM=$\frac{3}{2}$．
∴AN=BM=$\frac{3}{2}$，
∴ON=OA-AN=$\frac{1}{2}$，
∴点N的坐标为N（0，$\frac{1}{2}$）．
点评 此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形的性质等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
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如图，在直角平面坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，1）、B（3，-1）、C（2，2）．
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q
下列说法中正确的序号有②．