Question

4．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的一边OA在x轴上，点B的坐标为（4，3），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交线段BC于点P（不与端点B、C重合），交线段AB于点Q
（1）若P为边BC的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）求k的取值范围；
（3）连接PQ，AC，判断：PQ∥AC是否总成立？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出点P坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据点Q的横坐标即可求出点Q的纵坐标．
（2）设点P（x，3），则x=$\frac{k}{3}$，列出不等式即可解决问题．
（3）根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明△BPQ∽△BCA，即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∵点B坐标（4，3），
∴BC=4，AB=3，
∵PC=PB，
∴点P坐标（2，3），
∴反比例函数解析式y=$\frac{6}{x}$，
∵点Q的横坐标为4，
∴点Q的坐标为（4，$\frac{3}{2}$）．
（2）设点P坐标（x，3），则0＜x＜4，
把点P（x，3）代入y=$\frac{k}{x}$得到，x=$\frac{k}{3}$，
∴0＜$\frac{k}{3}$＜4，
∴0＜k＜12．
（3）结论：PQ∥AC总成立．
理由：设P（m，3），Q（4，n），则3m=4n=k，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{4-m}{4}$=$\frac{4-\frac{k}{3}}{4}$=$\frac{12-k}{12}$，
$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{3-n}{3}$=$\frac{3-\frac{k}{4}}{3}$=$\frac{12-k}{12}$，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∵∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BCA，
∴∠BPQ=∠BCA，
∴PQ∥AC．

点评 本题考查四边形综合题、反比例函数的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，第三个问题的关键是证明三角形相似，利用相似三角形性质解决问题，属于中考压轴题．