Question

19．如图，⊙O是以原点为圆心，半径为2的圆，点A（6，2），点P是⊙O上一动点，以线段PA为斜边构造直角△PAM，且cos∠MPA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，现已知当点P在⊙O上运动时，保持∠MPA的大小不变，点M随着点P运动而运动且运动路径也形成一个圆，则该圆的半径是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 如图，作直线AO交⊙O于P₁，P₂，点P在⊙O上运动，所以PA的最小值就是AP₁的长，PA的最大值就是PA₂的长，求出相应的AM的最小值、最大值即可解决问题．

解答 解：如图，作直线AO交⊙O于P₁，P₂．

∵点P在⊙O上运动，
∴PA的最小值就是AP₁的长，PA的最大值就是PA₂的长，
∵∠AP₁M₁=∠AP₂M₂，∴P₁M₁∥P₂M₂，
∵∠AM₁P₁=∠AM₂P₂=90°，
∴A、M₁、M₂共线，
∵OA=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴AP₁=2$\sqrt{10}$-2，AP₂=2$\sqrt{10}$+2，
∵cos∠AP₁M₁=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin∠AP₁M₁=$\frac{1}{3}$，
∴AM₁=PA₁•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$（2$\sqrt{10}$-2），AM₂=$\frac{1}{3}$（2$\sqrt{10}$+2），
∴M₁M₂=$\frac{4}{3}$，
由图象可知M₁M₂就是点M随着点P运动而运动且运动路径形成的圆的直径，
∴该圆的半径是$\frac{2}{3}$．
故答案为C．

点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是会求圆外一点到圆上一点的最大距离以及最小距离，反之利用这个最大值以及最小值可以求出圆的直径，属于中考压轴题．