定义:y是一个关于x的函数.若对于每个实数x.函数y的值为三数x+2.2x+1.-5x+20中的最小值.则函数y叫做这三数的最小值函数．(1)画出这个最小值函数的图象.并判断点A(1.3)是否为这个最小值函数图象上的点,(2)设这个最小值函数图象的最高点为B.点A①直接写出△ABM的面积.其面积是2,②若以M为圆心的圆经过A.B两点.写出点M的坐� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．定义：y是一个关于x的函数，若对于每个实数x，函数y的值为三数x+2，2x+1，-5x+20中的最小值，则函数y叫做这三数的最小值函数．
（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A（1，3）是否为这个最小值函数图象上的点；
（2）设这个最小值函数图象的最高点为B，点A（1，3），动点M（m，m）
①直接写出△ABM的面积，其面积是2；
②若以M为圆心的圆经过A，B两点，写出点M的坐标；
③以②中的点M为圆心，以$\sqrt{2}$为半径作圆，在此圆上找一点P，使PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的值最小，直接写出此最小值．

分析（1）根据三数的最小值函数的定义画出图象即可，根据图象可以判断点A的位置．
（2）①如图2中，作ON⊥AB于N，由AB∥OM，得S_△ABM=S_△ABO由此即可判断．
②求出线段AB的中垂线，再列出方程组即可解决问题．
③如图3中，取BM的中点D，连接PD、PM．由PM²=2=1×2=MD•BM，推出△PMD∽△BMP，推出$\frac{PD}{PB}$=$\frac{MD}{PM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
推出PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB，推出PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=PA+PD≥AD，推出即可解决问题．

解答解：（1）最小值函数的图象见图中实线，

∵x=1时，y=3，
∴点A（1，3）在这个最小值函数的图象上．
（2）①如图2中，作ON⊥AB于N．

∵AB∥OM，
∴S_△ABM=S_△ABO，
∵A（1，3），B（3，5），ON=$\sqrt{2}$，AB=2$\sqrt{2}$
∴S_△ABM=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故答案为2．
②∵直线AB的解析式为y=x+2，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=-x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点M坐标为（3，3）．

③如图3中，取BM的中点D，连接PD、PM．

∵PM²=2=1×2=MD•BM，
∵∠PMD=∠BMP，
∴△PMD∽△BMP，
∴$\frac{PD}{PB}$=$\frac{MD}{PM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB，
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=PA+PD≥AD，
∵AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=5，
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB≥5，
∴PA+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB的最小值为5．

点评本题考查圆的综合题、一次函数、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，学会转化的思想，体现了数形结合的思想，属于中考压轴题．

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