Question

4．如图，矩形ABCD的边AB=3，AD=4，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连结EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连结CG．
（1）求证：四边形EFCG是矩形；
（2）求tan∠CEG的值；
（3）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，求四边形EFCG面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据三个角是直角的四边形是矩形即可判断．
（2）只要证明∠CEG=∠ADB即可解决问题．
（3）首先证明S_矩形EFCG=$\frac{3C{F}^{2}}{4}$，想办法求出CF的范围即可解决问题，只要求出CF的最大值以及最小值．

解答 解：（1）证明：∵CE为⊙O的直径，
∴∠CFE=∠CGE=90°，
∵EG⊥EF，
∴∠FEG=90°，
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°，
∴四边形EFCG是矩形．
（2）由（1）知四边形EFCG是矩形．
∴CF∥EG，
∴∠CEG=∠ECF，
∵∠ECF=∠EDF，
∴∠CEG=∠EDF，
在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
∴tan$∠BDA=\frac{AB}{AD}=\frac{3}{4}$，
∴tan∠CEG=$\frac{3}{4}$；
（3）∵四边形EFCG是矩形，
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG，
∴tan∠FCE=tan∠CEG=$\frac{3}{4}$，
∵∠CFE=90°，
∴EF=$\frac{3}{4}$CF，
∴S_矩形EFCG=$\frac{3C{F}^{2}}{4}$；
连结OD，如图2①，

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°，
∴∠GDC+∠CDB=90°，
∴∠GDB=90°．
（Ⅰ）当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．
此时，CF=CB=4．…（10分）
（Ⅱ）当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，
如图2②所示，

此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
（Ⅲ）当CF⊥BD时，CF最小，
如图2③所示．

S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC×CD=$\frac{1}{2}$BD×CF，
∴4×3=5×CF，
∴CF=$\frac{12}{5}$，
∴$\frac{12}{5}$≤CF≤4，
∵S_矩形EFCG=$\frac{{3C{F^2}}}{4}$，
∴$\frac{3}{4}$×（$\frac{12}{5}$）²≤S_矩形EFCG≤$\frac{3}{4}$×4²，
∴$\frac{108}{25}$≤S_矩形EFCG≤12．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、锐角三角函数勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会转化的思想，学会取特殊点特殊位置探究问题，属于中考压轴题．