Question

17．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”，已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x²-2x-3，求这个“果圆”被y轴截得线段CD的长3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 将x=0代入抛物线的解析式得y=-3，故此可得到DO的长，然后令y=0可求得点A和点B的坐标，故此可得到AB的长，由M为圆心可得到MC和OM的长，然后依据勾股定理可求得OC的长，最后依据CD=OC+OD求解即可．

解答 解：连接AC，BC．
∵抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
∴点D的坐标为（0，-3），
∴OD的长为3．
设y=0，则0=x²-2x-3，解得：x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
∴AO=1，BO=3，AB=4，M（1，0）．
∴MC=2，OM=1．
在Rt△COB中，OC=$\sqrt{C{M}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴CD=CO+OD=3+$\sqrt{3}$，即这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长3+$\sqrt{3}$．
故答案为：3+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了坐标轴上点的坐标特点，圆的概念和性质，勾股定理等知识点，求的点D的坐标以及OC的长是解题的关键．