Question

5．如图所示，△ABC的外接圆⊙O的半径为2，过点C作∠ACD=∠ABC，交BA的延长线于点D，若∠ABC=45°，∠D=30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求$\widehat{AB}$的长．

Answer 1

分析 （1）证明：连接OA、OC，得到∠AOC=2∠ABC=90°，求得∠OCA=∠OAC=45°，于是得到OC⊥CD．由切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OB．根据三角形的内角和得到∠ACB=∠BCD-∠ACD=105°-45°=60°，由圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根据弧长公式即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OA、OC．则∠AOC=2∠ABC=90°，
∵在△AOC中，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=45°，
又∵∠ACD=45°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°+45°=90°，
∴OC⊥CD．
即CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OB．
∵∠ABC=45°，∠D=30°，∠ACD=∠ABC=45°，
∴在△BCD中，∠BCD=180°-∠ABC-∠D=180°-45°-30°=105°，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=105°-45°=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°，
∴$\widehat{AB}$的长为：$\frac{120•π•2}{180}$=$\frac{4π}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，弧长的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．