Question

9．如图，点E，F分别是?ABCD两边AB、BC的中点，且AF、AC分别与ED交于M、N两点，有下列结论：①MN：ME=2：3；②MN：DN=1：4；③N是DE的三等分点；④△AMN～△DMA．其中正确的是：①③．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 如图1中，延长DC交AF于H．与△ABF≌△CHF，推出AB=CF=CD，由AE=EB，AE∥DH，推出$\frac{EM}{MD}$=$\frac{AE}{DH}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{EN}{DN}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，设EM=a，则DM=4a，EN=$\frac{5}{3}$a，DN=$\frac{10}{3}$a，MN=$\frac{2}{3}$a，可得EM：MN=3：2，MN：DN=1：5，EN：DN=1：2，推出①③正确，②错误，如图2中，当AF⊥BC时，显然⊥ANM≠∠MAD，∴△AMN与△ADM不相似．故④错误．

解答 解：如图1中，延长DC交AF于H．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DH，AB=CD，
∴∠B=∠HCF，
在△ABF和△HCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠HCF}\\{FB=CF}\\{∠ABF=∠CFH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CHF，
∴AB=CF=CD，
∵AE=EB，AE∥DH，
∴$\frac{EM}{MD}$=$\frac{AE}{DH}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{EN}{DN}$=$\frac{AE}{CD}$=$\frac{1}{2}$，设EM=a，则DM=4a，EN=$\frac{5}{3}$a，DN=$\frac{10}{3}$a，MN=$\frac{2}{3}$a，
∴EM：MN=3：2，MN：DN=1：5，EN：DN=1：2，
∴①③正确，②错误，
如图2中，当AF⊥BC时，显然⊥ANM≠∠MAD，∴△AMN与△ADM不相似．故④错误．

故答案为①③．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．