Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{5}{6}$x+m经过点A（-2，n），B（1，$\frac{1}{2}$），抛物线y=x²-2tx+t²-1与x轴相交于点C，D．
（1）求点A的坐标；
（2）设点E的坐标为（$\frac{5}{2}$，0），若点C，D都在线段OE上，求t的取值范围；
（3）若该抛物线与线段AB有公共点，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件解方程即可得到结论；
（2）当y=0时，即x²-2tx+t²-1=0，得到C（t-1，0），D（t+1，0），解不等式组即可得到结论；
（3）当抛物线经过点A时，解方程得到t₁=-4，t₂=0，即当t=-4时，点A在抛物线的对称轴的右侧，当t=0时，点A在对称轴的左侧，当抛物线经过点B时解方程得到t₁=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，t₂=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，即当t=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$时，点B在抛物线的对称轴的右侧，当t=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$时，点B在对称轴的左侧，于是得到结论．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{5}{6}$x+m经过点A（-2，n），B（1，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{1}{2}$=-$\frac{5}{6}$+m，
∴m=$\frac{4}{3}$，
∴直线的解析式为y=-$\frac{5}{6}$x+$\frac{4}{3}$，
∴n=-$\frac{5}{6}$×（-2）+$\frac{4}{3}$=3，
∴A的坐标（-2，3）；
（2）当y=0时，即x²-2tx+t²-1=0，
解得：x₁=t-1，x₂=t+1，
∴C（t-1，0），D（t+1，0），
∵点C，D都在线段OE上，
∴0≤t-1＜t+1≤$\frac{5}{2}$，即$\left\{\begin{array}{l}{t-1≥0}\\{t+1≤\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴1≤t≤$\frac{3}{2}$，
∴t的取值范围是1≤t≤$\frac{3}{2}$；
（3）当抛物线经过点A时，3=4+4t+t²-1，
解得：t₁=-4，t₂=0，
即当t=-4时，点A在抛物线的对称轴的右侧，当t=0时，点A在对称轴的左侧，
当抛物线经过点B时，$\frac{1}{2}$=1-24t+t²-1，
解得：t₁=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$，t₂=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$，
即当t=$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$时，点B在抛物线的对称轴的右侧，当t=$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$时，点B在对称轴的左侧，
∵抛物线与线段AB有公共点，
∴t的取值范围为：-4≤t≤$\frac{2-\sqrt{6}}{2}$或0≤t≤$\frac{2+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，方程和不等式的解法，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．