Question

14．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数$\overline{abcd}$（千位数字为a，百位败字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉样数”，请解答下面几个问题：
（1）已知$\overline{785x}$是“吉样数”，则x=4．
（2）若正整数$\overline{abcd}$是“吉样数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．
（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数$\overline{abcd}$是“吉样数”，邯么d+4（a+b+c）也是“吉祥数字”．你认为他说得对吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“吉样数”的定义，由既能被2整除又能被3整除的数的特征求解即可；
（2）根据“吉样数”的定义，可得d是偶数，根据偶数的定义可知4（a+b+c）是偶数，从而求解；
（3）d+4（a+b+c）=a+b+c+d+3（a+b+c），通过证明“吉样数”的定义得出a+b+c+d能被3整除，结合（2）即可求解．

解答 解：（1）∵7+8+5=20，$\overline{785x}$是“吉样数”，
∴$\overline{785x}$中x只能为4；
（2）∵正整数$\overline{abcd}$是“吉样数”，
∴d是偶数，
∵4（a+b+c）是偶数，
∴d+4（a+b+c）是偶数，
∴d+4（a+b+c）能被2整除；
（3）对，
由（2）知d+4（a+b+c）能被2整除，
∵四位正整数$\overline{abcd}$是“吉样数”，
∴a+b+c+d能被3整除，
即a+b+c+d=3x，x为正整数，
∴d+4（a+b+c）
=a+b+c+d+3（a+b+c）
=3x+3（a+b+c）
=3（a+b+c+x），
∴d+4（a+b+c）能被3整除．
综上所述，d+4（a+b+c）是“吉祥数字”．

点评 考查了因式分解的应用，解题的关键是理解阅读材料的内容，以及理解“吉样数”的定义．