Question

10．如图1，抛物线y=ax²+bx+4的图象过A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S_△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

Answer 1

分析 （1）将A、B点的坐标代入函数解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）令x=0可得出C点的坐标，设出直线BC解析式y=kx+4，代入B点坐标可求出k值，利用面积法求出点A到直线BC的距离结合三角形的面积，即可得出结论；
（3）①由直线BC的解析式为y=-x+4可得知OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CP，设出P、F点的坐标，由F点的纵坐标-P点的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值问题；②由翻转特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC=PF，由此得出关于t的二元一次方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4的图象过A（-1，0），B（4，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的表达式为y=-x²+3x+4．
（2）令x=0，则y=4，
即点C的坐标为（0，4），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
设直线BC的解析式为y=kx+4，
∵点B的坐标为（4，0），
∴0=4k+4，解得k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+4．
当t=1时，CP=$\sqrt{2}$，
点A（-1，0）到直线BC的距离h=$\frac{AB•OC}{BC}$=$\frac{[4-（-1）]×4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
S_△ACP=$\frac{1}{2}$CP•h=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5}{2}$．
（3）①∵直线BC的解析式为y=-x+4，
∴CP=$\sqrt{2}$t，OE=t，设P（t，-t+4），F（t，-t²+3t+4），（0≤t≤4）
PF=-t²+3t+4-（-t+4）=-t²+4t，（0≤t≤4）．
当t=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2时，PF取最大值，最大值为4．
②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，
∴PC=P′C，PF=P′F，
当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．
∴$\sqrt{2}$t=-t²+4t，
解得：t₁=0（舍去），t₂=4-$\sqrt{2}$．
故当t=4-$\sqrt{2}$时，四边形PFP′C是菱形．

点评 本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键：（1）待定系数法求函数解析式；（2）找出直线BC的解析式利用面积法求出三角形的高；（3）①结合直线BC与抛物线的解析式设出P、F点的坐标；②由菱形的判定定理找出PC=PF．本题属于中档题，（1）难度不大；（2）利用面积相等巧妙的算出三角形的高；（3）由二次函数的性质找出最值．