Question

2．在Rt△ACB中，∠C=90°，点D是AC的中点，cos∠CBD=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，则sin∠ABD=$\frac{\sqrt{285}}{76}$．

Answer 1

分析 过点D作DH⊥AB，如图所示．设BD=4x，可根据三角函数和勾股定理求出BC、CD（AD）、AC、AB的值（用x表示），要求sin∠ABD，只需求出DH的值（用x表示），只需证明△AHD∽△ACB，并利用相似三角形的性质就可解决问题．

解答 解：过点D作DH⊥AB，如图所示．
在Rt△BCD中，
cos∠CBD=$\frac{BC}{BD}$=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
设BD=4x，则BC=$\sqrt{15}$x，
∴CD=$\sqrt{（4x）^{2}-（\sqrt{15}x）^{2}}$=x．
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=x，
∴AC=2x，AB=$\sqrt{（\sqrt{15}x）^{2}+（2x）^{2}}$=$\sqrt{19}$x．
∵∠A=∠A，∠DHA=∠C=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DH}{\sqrt{15}x}$=$\frac{x}{\sqrt{19}x}$，
∴DH=$\frac{\sqrt{285}}{19}$．
在Rt△BHD中，
sin∠ABD=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{\sqrt{285}}{76}$．
故答案为$\frac{\sqrt{285}}{76}$．

点评 本题主要考查了三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，题目中若涉及到三角函数，通常需放到直角三角形中考虑．