Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF=AC．
（3）试说明CE=$\frac{1}{2}$BF．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠BCD=45°，求得BD=CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．

解答 解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠BCD=45°，
∴BD=CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∵∠BFD=∠CFE，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDC=∠ADC=90°}\\{∠DBF=∠DCA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACD，
∴BF=AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC，
∴CE=$\frac{1}{2}$BF．

点评 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．