Question

在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），过点B作直线∥x轴，点P（a，3）是直线上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，∠APQ=Rt∠，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a=1时，则点Q的坐标为

 

； 
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运动．当a=

 

时，AQ+BQ的值最小为

 

．

Answer 1

考点：一次函数综合题,全等三角形的判定与性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）要求点Q的坐标，可作QF⊥BP，由于BP、OB已知，只需求出PF和QF．从条件“△APQ为等腰直角三角形”出发，构造全等，即可解决问题．
（2）本题要求动点Q到两定点A、B的距离之和AQ+BQ的最小值，属于“将军饮马型”，只需求出动点Q所在直线的解析式，然后运用解决“将军饮马型”的方法即可解决问题；要求AQ+BQ取最小值时对应的a的值，只需运用相似三角形对应高的比等于相似比建立关于a的方程，就可求出a的值．

解答：解：（1）过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点Q作QF⊥BP，垂足为F，如图1．
∵BP∥OA，PE⊥OA，∴∠EPF=∠PEO=90°．
∵∠APQ=90°，∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF．
在△PEA和△PFQ中，

∠EPA=∠FPQ ∠PEA=∠PFQ=90° PA=PQ

∴△PEA≌△PFQ．
∴PE=PF，EA=QF．
∵a=1，∴P（1，3）．∴OE=BP=1，PE=3．
∵A（2，0），∴OA=2，∴EA=1．∴PF=3，QF=1．
∴点Q的坐标为（4，4）．

（2）若点P的坐标为（a，3），则PF=PE=3，QF=AE=|2-a|．
∴点Q的坐标为（a+3，5-a）．
∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，5-a）都满足一次函数解析式y=-x+8，
∴点Q始终在直线y=-x+8上运动．
设直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点M、N，如图2所示．
当x=0时y=8，当y=0时x=8．∴OM=ON=8．
∵∠AOB=90°，∴∠OMN=45°．
过点A关于直线MN作对称点A′，连A′Q、A′M，
则A′Q=AQ，A′M=AM=6，∠A′MN=∠AMN=45°．
∴∠A′MA=90°，AQ+BQ=A′Q+BQ．根据两点之间线段最短可知：
当A′、Q、B三点共线时，AQ+BQ=A′Q+BQ最短，最小值为A′B长．
设直线BP与A′M相交于点H，则BH⊥A′M．
在Rt△A′HB=90°，BH=OM=8，A′H=A′M-MH=6-3=3，
∴A′B=

BH2+A′H2

=

82+32

=

73

．
当A′、Q、B三点共线时，
∵BN∥A′M，∴△BQN～△A′QM．
根据相似三角形对应高的比等于相似比可得：

xQ

8-xQ

=

BN

A′M

=

8-3

6

，解得x_Q=

40

11

．
∴a+3=

40

11

．∴a=

7

11

．
∴当a=

7

11

时，AQ+BQ的值最小为

73

．
故答案为：（4，4）、

7

11

、

73

．

点评：这道题考查了全等的性质与判定、相似的性质与判定，两点之间线段最短，勾股定理等知识，综合性很强，求出动点Q所在直线的解析式是解决这道难题的关键；当直角坐标系中出现等腰直角三角形时，可考虑构造全等三角形，找出线段之间的等量关系，从而将条件与所求线段有机地联系起来；若要求一个动点到两个定点的距离之和的最小值，应联想到“将军饮马”这个基本模型．