Question

在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B（30，0），OA=6

3

，∠AOB=30°．半径为（3

3

+2.5）的⊙M的圆心M从点O出发，沿线段OA向终点A运动，速度为每秒2

3

个单位长度，半径为（3

3

-2.5）的⊙N的圆心N从点B出发沿线段BO向终点O运动，速度为每秒10个单位长度，若两圆⊙M、⊙N同时出发，运动时间为t秒，令y=MN²．
（1）填空：A、M、N三点坐标分别为
A（

 

，

 

），M（

 

，

 

），N（

 

，

 

）．
（2）用t的代数式表示y．
（3）在运动过程时，⊙M与⊙N相切，求t的值．
（4）在运动的过程中，是否存在这样的时刻t，使得△OMN是等腰三角形？若存在，求出t的所有可能值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）求A、M、N点坐标，需要分别表示出其横纵坐标，故过A、M作x轴的垂线，由已知∠AOB=30°，则利用含30°直角三角形边长性质易得结果．
（2）y=MN²，由MN即为M、N点之间距离，通常作关于x轴、y轴直线，再利用直角三角形中勾股定理求解斜边的长，由坐标易得此直角三角形另外两直角边的长，所以易得y与t的关系式，注意还要讨论t的取值范围．
（3）两圆相切，即有内切、外切三种情形，由已知r_M＞r_N，则内切、外切共两种情形，即MN=r_M+r_N或MN=r_M-r_N．由（2）结论，易得方程，求解t即可．
（4）成等腰三角形，也有三种情形，OM=ON，或OM=MN，或MN=ON．有（1）、（2）结论，仿照（3）易得方程，求出所有t即可．

解答：解：（1）A（9，3

3

），M（3t，

3

t），N（30-10t，0）．
分析如下：

根据题意，如图1，过点A作AC⊥OB于C，过点M作MD⊥OB于D，
在Rt△OAC中，
∵∠AOB=30°，OA=6

3

，
∴AC=3

3

，OC=9，
∴A（9，3

3

）．
在Rt△OMD中，
∵∠AOB=30°，OM=2

3

t，
∴MD=

3

t，OD=3t，
∴M（3t，

3

t）．
∵OB=30，NB=10t，
∴ON=30-10t，
∴N（30-10t，0）．

（2）
如图2，连接MN，
在Rt△MND中，
∵MD=

3

t，ND=ON-OD=30-10t-3t=30-13t，
∴MN²=MD²+ND²=(

3

t)2+(30-13t)2，
∴y=172t²-780t+900．
∵6

3

÷2

3

=3，30÷10=3，
∴y=172t²-780t+900（0≤t≤3）．

（3）∵r_M=3

3

+2.5，r_N=3

3

-2.5，
∴r_M＞r_N，
∵⊙M与⊙N相切，
∴MN=r_M+r_N=3

3

+2.5+（3

3

-2.5）=6

3

，
 或MN=r_M-r_N=3

3

+2.5-（3

3

-2.5）=5，
①当MN=r_M+r_N时，
(6

3

)2=172t²-780t+900，解得 t=3 或t=

63

43

，
②当MN=r_M-r_N时，
25=172t²-780t+900，解得 t=

175

86

 或t=2.5，
综上所述，t=

63

43

，

175

86

，2.5，3时，⊙M与⊙N相切．

（4）∵△OMN是等腰三角形，
∴OM=ON，或OM=MN，或MN=ON，
①当OM=ON时，
∵OM=2

3

t，ON=30-10t，
∴2

3

t=30-10t，
解得 t=

75-15 3

22

．
②当OM=MN时，
∵OM=2

3

t，MN²=172t²-780t+900，
∴(2

3

t)2=172t²-780t+900，
解得 t=

30

16

 或t=3（此时，N运动至O点，不构成三角形舍去）．
③当MN=ON时，
∵ON=30-10t，MN²=172t²-780t+900，
∴（30-10t）²=172t²-780t+900，
解得 t=0（此时，M在O点，不构成三角形舍去） 或t=2.5．
综上所述，t=

30

16

、

75-15 3

22

、2.5时，△OMN是等腰三角形．

点评：本题考查了含30°角直角三角形特性、利用勾股定理表示坐标系中两点距离、动点构成圆的相切及构成等腰三角形时的基本情形．其考点及考法都非常常规，是一道非常值得学生练习基础的题目．