Question

如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．E（0，m）是线段OC上一动点（O，C点除外），直线EM交AB的延长线于点F．
（1）求点F的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△AEF是等腰三角形时，求m的值；
（3）如图2，以AE为直径作⊙P，求BC与⊙P恰好相切于点M时，求点F的坐标．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）先证明△CEM≌△BFM，得到BF=CE，由于CE=OC-OE=2-m，所以BF=2-m，则AF=AB+BF=4-m，于是F点坐标表示为（2，4-m）；
（2）先利用两点间的距离公式得到AF²=（4-m）²，AE²=2²+m²，EF²=2²+（4-2m）²，然后分类讨论：当AF=AE，则（4-m）²=2²+m²；当AF=EF，（4-m）²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-8m+4=0；当AE=EF，2²+m²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-16m+16=0，再分别解方程求出满足条件的m值（0＜m＜2）；
（3）连结PM，根据切线的性质得PM⊥BC，易得PM为△EFA的中位线，则PM=

1

2

AF，而PM=

1

2

AE，所以AE=AF，然后利用（2）中的结论得当AF=AE，得m=

3

2

，所以F点的坐标为（2，

5

2

）．

解答：解：（1）∵正方形OABC的边长为2，M是BC的中点，
∴CM=CM=1，CO∥AB，
∴∠CEM=∠F，
在△CEM和△BFM中

∠CME=∠BMF ∠CEM=∠F CM=BM

，
∴△CEM≌△BFM，
∴BF=CE，
∵E点坐标为（0，m），
∴CE=OC-OE=2-m，
∴BF=2-m，
∴AF=AB+BF=4-m，
∴F点坐标为（2，4-m）（0＜m＜2）；
（2）AF²=（4-m）²，AE²=2²+m²，EF²=2²+（4-2m）²，
当AF=AE，则（4-m）²=2²+m²，解得m=

3

2

；
当AF=EF，（4-m）²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-8m+4=0，解得m₁=

2

3

，m₂=2（舍去）；
当AE=EF，2²+m²=2²+（4-2m）²，整理得3m²-16m+16=0，解得m₁=

4

3

，m₂=4（舍去），
综上所述，当△AEF是等腰三角形时，m的值为

3

2

或

2

3

或

4

3

；
（3）连结PM，如图2，
∵BC与⊙P恰好相切于点M，
∴PM⊥BC，
∴PM∥AF，
而PA=PE，
∴PM为△EFA的中位线，
∴PM=

1

2

AF，
而PM=

1

2

AE，
∴AE=AF，
由（2）得当AF=AE，得m=

3

2

，
∴F点的坐标为（2，

5

2

）．

点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质定理、等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；会利用因式分解法解一元二次方程；理解分类讨论的思想方法．