Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC=60°，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AD，则OE=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作CF⊥AD于F，由平行四边形的性质得出∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，求出∠DCF=30°，由直角三角形的性质得出DF=$\frac{1}{2}$CD=2，求出CF=$\sqrt{3}$DF=2$\sqrt{3}$，证出OE是△ACF的中位线，由三角形中位线定理得出OE的长即可．

解答 解：作CF⊥AD于F，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC=60°，CD=AB=4，OA=OC，
∴∠DCF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2，
∴CF=$\sqrt{3}$DF=2$\sqrt{3}$，
∵CF⊥AD，OE⊥AD，CF∥OE，
∵OA=OC，
∴OE是△ACF的中位线，
∴OE=$\frac{1}{2}$CF=$\sqrt{3}$；
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出OE是三角形的中位线是解决问题的关键．