Question

17．在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB．

Answer 1

分析 如图，延长BH交AC的延长线于E，延长AM，使得MN=AM．连接BN，CN．只要证明$\frac{AQ}{NQ}$=$\frac{PB}{PC}$，推出$\frac{MA+MQ}{AM-MQ}$=$\frac{BM+PM}{BM-PM}$，即$\frac{AM}{MQ}$=$\frac{BM}{PM}$，即可证明．

解答 解：如图，延长BH交AC的延长线于E，延长AM，使得MN=AM．连接BN，CN．

∵BM=CM，AM=MN，
∴四边形ABNC是平行四边形，
∴BN∥AE，BN=AC，
∴$\frac{BN}{AE}$=$\frac{NQ}{AQ}$，
∵∠BAH=∠EAH，AH⊥BE，
∴∠AHB=∠AHE=90°，
∴∠ABE+∠BAH=90°，∠E+∠EAH=90°，
∴∠E=∠ABE，
∴AB=AE，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AQ}{NQ}$，
∵AP平分∠BAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BP}{PC}$，
∴$\frac{AQ}{NQ}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴$\frac{MA+MQ}{AM-MQ}$=$\frac{BM+PM}{BM-PM}$，
∴2AM•PM=2MQ•BM，
∴$\frac{AM}{MQ}$=$\frac{BM}{PM}$，
∴PQ∥AB．

点评 本题长相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，题目比较难，用到角平分线的性质定理，比例的性质．