Question

已知关于x的方程mx²-3（m+1）x+2m+3=0．
（1）求证：无论m取任何实数，该方程总有实数根；
（2）若m≠0，抛物线y=mx²-3（m+1）x+2m+3与x轴的交点到原点的距离小于2，且交点的横坐标是整数，求m的整数值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,一元一次方程的解,根的判别式

专题：

分析：（1）由关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）对于抛物线解析式，令y=0，表示出x，根据抛物线与x轴交点的横坐标都是整数，根据x的范围即可确定出m的整数值．

解答：解：（1）由题意m≠0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即[-3（m+1）]²-4m（2m+3）=（m+3）²＞0，
解得：m≠-3，
则m的取值范围为m≠0和m≠-3；
（2）设y=0，则mx²-3（m+1）x+2m+3=0．
∵△=（m+3）²，
∴x=

3m+3±(m+3)

2m

，
∴x₁=

2m+3

m

，x₂=1，
当x₁=

2m+3

m

是整数时，可得m=1或m=-1或m=3，
∵|x|＜2，m=3不合题意舍去，
∴m的值为-1或1．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．