Question

已知直线y=

3

4

x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-

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x²+mx+n经过点A和点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线CA上方的抛物线上是否存在点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征确定C点坐标为（0，-3），A点坐标为（4，0），然后把A点和C点坐标代入y=-

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x²+mx+n中得到关于m、n的方程组，解方程组求出m、n即可得到抛物线的解析式；
（2）过D点作直线AC的平行线y=kx+b，要使△ACD的面积最大，则直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点，点D到AC的距离最大，根据两直线平行问题得到k=

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，过点D的直线解析式为y=

3

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x+b，然后把它与抛物线解析式组成方程组，利用方程组只有一组解和判别式的意义确定b的值，再得到方程组的解，从而得到D点坐标．

解答：解：（1）把x=0代入y=

3

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x-3得y=-3，则C点坐标为（0，-3），
把y=0代入y=

3

4

x-3得

3

4

x-3=0，解得x=4，则A点坐标为（4，0），
把A（4，0），C（0，-3）代入y=-

3

4

x²+mx+n得

- 3 4 ×42+4m+n=0 n=-3

，
解得

m= 15 4 n=-3

，
所以二次函数解析式为y=-

3

4

x²+

15

4

x-3；
（2）存在．
过D点作直线AC的平行线y=kx+b，当直线y=kx+b与抛物线只有一个公共点时，点D到AC的距离最大，此时△ACD的面积最大，
∵直线AC的解析式为y=

3

4

x-3，
∴k=

3

4

，即y=

3

4

x+b，
由直线y=

3

4

x+b和抛物线y=-

3

4

x²+

15

4

x-3组成方程组得

y= 3 4 x+b y=- 3 4 x2+ 15 4 x-3

，消去y得到3x²-12x+4b+12=0，
∴△=12²-4×3×（4b+12）=0，解得b=0，
∴3x²-12x+12=0，解得x₁=x₂=2，
把x=2，b=0代入y=

3

4

x+b得y=

3

2

，
∴D点坐标为（2，

3

2

）．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．