如图.Rt△ABC的三个顶点均落在平面直角坐标系的坐标轴上.OA=1.OB=4OA.∠ACB=90°.抛物线y=ax2+bx+c过A.B.C三点．(1)求抛物线的函数关系式,(2)点D是线段BC上一动点.过点D作DE⊥X轴.交抛物线于点E.在点D的运动过程中.设线段DE的长度为m.求m的最大值,(3)连接CE.在点D的运动过程中.是否存在点D.使△CDE是等腰三角形?如� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，Rt△ABC的三个顶点均落在平面直角坐标系的坐标轴上，OA=1，OB=4OA，∠ACB=90°，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过A，B，C三点．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点D是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），过点D作DE⊥X轴，交抛物线于点E，在点D的运动过程中，设线段DE的长度为m，求m的最大值；
（3）连接CE，在点D的运动过程中，是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？如果存在，求出所有满足要求的点D的横坐标；如果不存在，说明理由．

分析（1）由条件可先求得A、B的坐标，由△AOC∽△COB，可求得OC的长，再利用待定系数法可求得抛物线的函数关系式；
（2）由B、C坐标可求得直线BC的解析式，则可设出D点坐标，从而可表示出DE的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）可用D点横坐标为t，则可用t分别表示出CE、CD和DE的长，分CE=CD、CE=DE和CD=DE三种情况，分别得到关于t的方程，可求得D点横坐标．

解答解：
（1）∵OA=1，OB=4OA，
∴OB=4，
∵∠ACB=∠AOB=∠BOC=90°，
∴∠ACO+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠ACO=∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{AO}{OC}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{1}{OC}$=$\frac{OC}{4}$，解得OC=2，
∴A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴可设抛物线解析式为y=ax²+bx+2，
把A、B两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）∵B（4，0），C（0，2），
∴可设直线BC解析式为y=kx+2，
把B点坐标代入可得4k+2=0，解得k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∵点D是线段BC上一动点（不与B、C两点重合），
∴可设D（x，-$\frac{1}{2}$x+2）（0＜x＜4），则E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
∵DE⊥x轴，
∴DE=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
即m=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=2时，m有最大值2；

（3）设D（t，-$\frac{1}{2}$t+2）（0＜t＜4），则E（t，-$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+2），且C（0，2），
∴CE=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）^{2}}$，CD=$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}t）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，DE=-$\frac{1}{2}$t²+2t，
∵△CDE为等腰三角形，
∴有CE=CD、CE=DE和CD=DE三种情况，
①当CE=CD时，则有$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$t，解得t=0（舍去）或t=2，
②当CE=DE时，则有$\sqrt{{t}^{2}+（-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）^{2}}$=-$\frac{1}{2}$t²+2t，解得t=0（舍去）或t=$\frac{3}{2}$，
③当CD=DE时，则有$\frac{\sqrt{5}}{2}$t=-$\frac{1}{2}$t²+2t，解得t=0（舍去）或t=4-$\sqrt{5}$，
综上可知D点的横坐标为2或$\frac{3}{2}$或4-$\sqrt{5}$．

点评本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A、B、C的坐标是解题的关键，在（2）中用D点坐标表示出m是解题的关键，在（3）中用D点坐标分别表示出CD、CE和DE是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．