Question

5．（1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在BC上（且不与点B，C重合），过点E作ED⊥BC交AC于点D，连接AE，过点D作DF∥AB，且DF=AB，连接AF，EF，BF，求∠FAE的度数；
（2）在图①的基础上，将△CED绕点C逆时针旋转，其他条件不变，请判断线段AF，AE的数量关系，并结合图②证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA，再证明△AEF是等腰直角三角形，即可得到∠FAE的度数；
（2）连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形，即可得到线段AF，AE的数量关系．

解答 解：（1）如图1，连接EF，DF交BC于K．
∵DF∥AB，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴∠EKF=180°-∠DKE=135°，EK=ED，
∵∠ADE=180°-∠EDC=180°-45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{EK=ED}\\{∠EKF=∠ADE}\\{KF=AD}\end{array}\right.$，
∴△EKF≌△EDA（SAS），
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴∠FAE的度数为45°；

（2）AF=$\sqrt{2}$AE．
证明：如图2，连接EF，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°-∠KDC-∠EDC=135°-∠KDC，
∠ACE=（90°-∠KDC）+∠DCE=135°-∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC，
在△EDF和△ECA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AC}\\{∠EDF=∠ACE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△ECA（SAS），
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=$\sqrt{2}$AE．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，寻找全等的条件是解题的难点．