Question

8．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于50元，设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每周的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？

Answer 1

分析 （1）根据销售利润=每件的利润×销售数量，构建函数关系即可．
（2）利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）列出方程，解方程即可解决问题．

解答 解：（1）由题意得：
y=（40+x-30）（180-5x）=-5x²+130x+1800（0≤x≤10）

（2）对称轴：x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{130}{-5×2}$=13，
∵13＞10，a=-5＜0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而增大，
∴当x=10时，y_最大值=-5×10²+130×10+1800=2600，
∴售价=40+10=50元
答：当售价为50元时，可获得最大利润2600元．

（3）由题意得：-5x²+130x+1800=2145
解之得：x=3或23（不符合题意，舍去）  
∴售价=40+3=43元．
答：售价为43元时，每周利润为2145元．

点评 本题考查二次函数的应用、最值问题、一元二次方程等知识，解题的关键是搞清楚利润、售价、销售量之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．