Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点E在边BC上，与点B、C不重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F．设DF=x，EC=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）当CF=1时，求EC的长．
（3）若直线AF与线段BC延长线交于点G，当△DBE与△DFG相似时，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）易证△ADF∽△DCE，然后运用相似三角形的性质即可得到y与x的关系，然后根据y的范围就可得到x的范围；
（2）由于点F的位置不确定，需分点F在线段DC及点F在线段DC的延长线上两种情况进行讨论，然后利用y与x的关系即可解决问题；
（3）由∠DEC=∠AFD=90-∠EDC可得∠BED=∠DFG，因而在△DBE和△DFG中，点E与点F是对应点，故当△DBE与△DFG相似时，可分△DEB∽△GFD和△DEB∽△DFG两种情况进行讨论，然后只需用x的代数式表示ED、FG、EB，再运用相似三角形的性质即可解决问题．

解答 解：（1）如图1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB=2，∠ADC=∠BCD=90°．
又∵AF⊥DE，
∴∠ADF=∠DCE=90°，∠DAF=∠EDC=90°-∠DFA，
∴△ADF∽△DCE，
∴$\frac{AD}{DC}$=$\frac{DF}{CE}$，
∴$\frac{4}{2}$=$\frac{x}{y}$，即y=$\frac{1}{2}$x．
∵点E在线段BC上，与点B、C不重合，
∴0＜y＜4，∴0＜$\frac{1}{2}$x＜4，即0＜x＜8，
∴y=$\frac{1}{2}$x，（0＜x＜8）；

（2）①当点F线段DC上时，
∵CF=1，
∴DF=x=2-1=1，此时CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$；
②当点F线段DC延长线上时，
∵CF=1，
∴DF=x=2+1=3，此时CE=y=$\frac{1}{2}$x=$\frac{3}{2}$；
∴当CF=1时，EC的长为$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$；

（3）在Rt△ADF中，AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
在Rt△DCE中，DE=$\sqrt{E{C}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{2}x）^{2}+4}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△ADF∽△GCF，
∴$\frac{AF}{GF}$=$\frac{DF}{CF}$，
∴FG=$\frac{CF•AF}{DF}$=$\frac{2-x}{x}\sqrt{{x^2}+16}$．
∵∠DEC=∠AFD=90-∠EDC，
∴∠BED=∠DFG，
∴当△DBE与△DFG相似时，可分以下两种情况讨论：
①△DEB∽△GFD，如图2，
则有$\frac{ED}{EB}$=$\frac{FG}{FD}$，
∴ED•FD=FG•EB，
∴$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+16}$•x=$\frac{2-x}{x}\sqrt{{x^2}+16}$•（4-$\frac{1}{2}$x），
解得：x=$\frac{8}{5}$．
②若△DEB∽△DFG，如图3，
则有$\frac{ED}{EB}$=$\frac{FD}{FG}$，
∴ED•FG=EB•FD，
∴$\frac{1}{2}\sqrt{{x^2}+16}$•$\frac{2-x}{x}\sqrt{{x^2}+16}$=（4-$\frac{1}{2}$x）•x，
整理得：3x²+8x-16=0，
解得：x₁=$\frac{4}{3}$，x₂=-4（舍去）．
综上所述：DF的长为$\frac{8}{5}$或$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解方程等知识，对运算能力的要求比较高，当点的位置不确定、相似三角形的对应关系不确定时，常常需要分类讨论，避免出现漏解的现象．