Question

2．如图，在平面直角坐标系中，A（0，2），M（-4，0），点B从点M出发，速度为每秒k个单位，同时点P从原点O出发，速度为每秒1个单位，点B与点P都沿x轴正方向向右运动．设运动时间为t秒．动点Q在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上．
（1）当k=1，t=1时，直接写出点B，点P的坐标；
（2）当k=2时，是否存在点Q，使得以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出Q点坐标，并求出此时t的值；如果不存在，说明理由；
（3）探索在运动过程中，以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时t和k应满足的关系式．

Answer 1

分析 （1）利用速度公式计算出BM和OP，则可得到点B，点P的坐标；
（2）当k=2时，BM=2t，OP=t，B（2t-4，0），P（t，0），则PB=t-（2t-4）=3t-4，分类讨论：
当点Q在第一象限，如图1，利用平行四边形的性质得AQ∥PB，AQ=PB，则Q点的纵坐标为2，则可确定Q（2，2），所以PB=AQ=2，即t-（2t-4）=2，再解方程求出t的值；
当点Q在第三象限，如图2，连结AQ交x轴与D，根据平行四边形的性质得DA=DQ，OB=OP，易得Q（-2，-2），D（-1，0），利用DP=DQ得到t+1=-1-（2t-4），再解方程求出t的值；
（3）B（kt-4，0），PB=4-（k-1）t，与（2）类似，分类讨论：当点Q在第一象限，利用PB=PQ=2得到4-（k-1）t=2，所以t=$\frac{2}{k-1}$；当点Q在第三象限，如图2，连结AQ交x轴与D，利用DP=DQ得到t+1=-1-（kt-4），解得t=$\frac{2}{k+1}$．

解答 解：（1）当k=1，t=1，则BM=1，OP=1，
所以B（-3，0），P（1，0）；
（2）存在．
当k=2时，BM=2t，OP=t，B（2t-4，0），P（t，0），
则PB=t-（2t-4）=3t-4，
当点Q在第一象限，如图1，
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴AQ∥PB，AQ=PB，
∴Q点的纵坐标为2，
当y=2时，$\frac{4}{x}$=2，解得x=2，则Q（2，2），
∴PB=AQ=2，
即t-（2t-4）=2，解得t=2；
当点Q在第三象限，如图2，连结AQ交x轴与D，
∵四边形ABPQ为平行四边形，
∴DA=DQ，OB=OP，
∴Q点的纵坐标为-2，
当y=-2时，$\frac{4}{x}$=-2，解得x=-2，则Q（-2，-2），
∴D（-1，0），
∴t+1=-1-（2t-4），解得t=$\frac{2}{3}$，
即满足条件的t的值为2或$\frac{2}{3}$；
（3）BM=kt，OP=t，B（kt-4，0），P（t，0），
则PB=t-（kt-4）=4-（k-1）t，
当点Q在第一象限，由（2）得到Q（2，2），由于PB=PQ=2，则4-（k-1）t=2，所以t=$\frac{2}{k-1}$；
当点Q在第三象限，如图2，连结AQ交x轴与D，由（2）得到Q（-2，-2），D（-1，0），由DP=DQ得到t+1=-1-（kt-4），解得t=$\frac{2}{k+1}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定方法；会运用分类讨论的思想解决问题；通过用代数式表示相应相等来解决动点问题．