Question

6．如图，△ABC、△ADC、△AMN均为等边三角形，AM＞AB，AM与DC交于点E，AN与BC交于点F．
（1）求证：△ABF≌△ACE；
（2）猜测△AEF的形状，并证明你的结论；
（3）请直接指出当F点在BC何处时，AC⊥EF．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠MAN=60°，AB=AC，可得∠BAF=∠CAE，由ASA证明△ABF≌△ACE即可；
（2）由全等三角形的性质得出AE=AF，得出△AEF是等边三角形即可；
（3）由等边三角形的性质得出∠CAF=$\frac{1}{2}$∠EAF=30°，由三角形的外角性质证出∠AFB=90°，求出∠BAF=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC即可．

解答 （1）证明：∵△ABC、△ADC、△AMN均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=∠DAC=∠ACD=∠MAN=60°，AB=AC，
∴∠BAF=∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACD}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\\{∠BAF=∠CAE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACE（ASA）；
（2）解：△AEF是等边三角形，理由如下：
由（1）得：△ABF≌△ACE，
∴AE=AF，
∵∠MAN=60°，
∴△AEF是等边三角形；
（3）解：当F在BC的中点时，AC⊥EF；理由如下：
∵△AEF是等边三角形，AC⊥EF，
∴∠CAF=$\frac{1}{2}$∠EAF=30°，
∴∠AFB=∠CAF+∠ACB=30°+60°=90°，∠BAF=60°-30°=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，即F为BC的中点．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．