Question

14．阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0因为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0从而a+b≥2$\sqrt{ab}$（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数y=x+$\frac{m}{x}$；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以当x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为$\frac{4}{x}$，周长为2（x+$\frac{4}{x}$），求当x=2时，周长的最小值为8；
问题2：已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=x²+2x+10（x＞-1），当x=2时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值为6．

Answer 1

分析 问题1：根据阅读1、2给定内容可知：当x=$\frac{4}{x}$，x+$\frac{4}{x}$有最小值，解方程求出x的值，代入x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$即可得出结论；
问题2：根据给定y₁、y₂找出$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，由阅读材料可知当x+1=$\frac{9}{x+1}$时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值，解方程求出x的值，再代入x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$即可得出结论．

解答 解：问题1：∵矩形的一边长为x，另一边长为$\frac{4}{x}$，
∴x＞0．
令x=$\frac{4}{x}$，解得：x=2，
∴x=2时，x+$\frac{4}{x}$有最小值为2×$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，
∴当x=2时，周长的最小值为2×4=8．
故答案为：2；8．
问题2：∵函数y₁=x+1（x＞-1），函数y₂=x²+2x+10（x＞-1），
∴$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{{x}^{2}+2x+10}{x+1}$=（x+1）+$\frac{9}{x+1}$，
∵x＞-1，
∴x+1＞0．
令x+1=$\frac{9}{x+1}$，解得：x=2，或x=-4（舍去），
∴当x=2时，（x+1）+$\frac{9}{x+1}$有最小值为2×$\sqrt{（x+1）•\frac{9}{x+1}}$=6．

点评 本题考查了反比例的综合应用，解题的关键是根据阅读材料的结论“x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{m}$，所以当x=$\frac{m}{x}$，即x=$\sqrt{m}$时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$”解决问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据阅读材料给出的结论解决问题是关键．