Question

4．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高线，BF平分∠ABC交AD于点F，以AB上的点O为圆心，OB为半径的⊙O交AB于点E，恰好经过点F．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）当BC=4，AC=6时，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OF，由AB=AC可得出∠OBF=∠OFB，由BF平分∠ABC可得出∠OBF=∠DBF，根据等量替换可得出∠DBF=∠OFB，进而得出OF∥BD，再结合AD是BC边上的高线即可得出OF⊥AD，此题得证；
（2）由AB=AC，AD是BC边上的高线，即可得出BD、AB的长度，根据OF∥BD即可得出△AOF∽△ABD，根据相似三角形的性质可得出$\frac{OF}{BD}=\frac{AO}{AB}$，进而求出OF的长度，此题得解．

解答 解：（1）证明：连接OF，如图所示．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB．
∵BF平分∠ABC，
∴∠OBF=∠DBF，
∴∠DBF=∠OFB，
∴OF∥BD．
∵AD是BC边上的高线，
∴OF⊥AD，
∴AD与⊙O相切．
（2）∵AB=AC，AD是BC边上的高线，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2．
∵AC=6，
∴AB=6，
∵OF∥BD，
∴△AOF∽△ABD，
∴$\frac{OF}{BD}=\frac{AO}{AB}$．
设半径为r，得：$\frac{r}{2}=\frac{6-r}{6}$，
解得：r=$\frac{3}{2}$，
∴AE=3．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、切线的判定以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）找出OF∥BD；（2）根据相似三角形的性质得出$\frac{OF}{BD}=\frac{AO}{AB}$．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用平行线的性质（全等三角形或相似三角形）找出垂直关系是关键．