Question

12．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地道B地须经C地沿折线A-C-B行驶，全长68km，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{3}$≈1.7）

Answer 1

分析 首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．

解答 解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x．
在Rt△ACD中，sin∠A=$\frac{CD}{AC}$，AC=$\frac{CD}{sin30°}$=2x，
在Rt△BCD中，sin∠B=$\frac{CD}{BC}$，BC=$\frac{CD}{sin45°}$=$\sqrt{2}$x，
∵AC+BC=2x+$\sqrt{2}$x=68
∴x=$\frac{68}{2+\sqrt{3}}$≈$\frac{68}{2+1.4}$=20． 
在Rt△ACD中，tan∠A=$\frac{CD}{AD}$，AD=$\frac{CD}{tan30°}$=20$\sqrt{3}$，
在Rt△BCD中，tan∠B=$\frac{CD}{BD}$，BD=$\frac{CD}{tan45°}$=20，
AB=20$\sqrt{3}$+20≈54，
AC+BC-AB=68-54=14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，得出CD的长以及熟练选择正确的三角函数关系是解题关键．