Question

12．二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，4），且与直线y=-$\frac{1}{2}x$+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），连结NB、NA，试问△ABN的面积是否存在最大值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}x$+1可得出点A、点B的坐标，结合给定的坐标（-1，4）利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）存在．作AB的平行线EN与抛物线只有一个交点N，交y轴于点E，由直线AB的解析式设出直线EN的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+k，将其代入到二次函数解析式中，根据根的判别式△=0得出关于k的一元一次方程，解方程得出k的值，将k的值代入方程中求出x的值，再将x的值代入到直线EN的解析式中即可求出点N的坐标．

解答 解：（1）令直线y=-$\frac{1}{2}x$+1中x=0，则y=1；
令x=-3，则y=-$\frac{1}{2}$×（-3）+1=$\frac{5}{2}$．
∴点A（0，1），点B（-3，$\frac{5}{2}$）．
根据题意可知：$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{9a-3b+c=\frac{5}{2}}\\{a-b+c=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{17}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴二次函数的解析式为：y=-$\frac{5}{4}{x}^{2}$-$\frac{17}{4}$x+1．
（2）存在．
要使△ABN的面积最大，AB长度一定，只要AB上的高最大即可．
作AB的平行线EN与抛物线只有一个交点N，交y轴于点E，如图所示．

此时△ABN的底边AN上的高最大，设直线EN的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+k．
∵y=-$\frac{1}{2}$x+k与抛物线只有一个交点，
∴方程-$\frac{1}{2}$x+k=-$\frac{5}{4}{x}^{2}$-$\frac{17}{4}$x+1，即5x²+15x+4k-4=0的判别式△=15²-4×5（4k-4）=0，
解得：k=$\frac{61}{16}$．
∴直线EN的表达式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{61}{16}$．
此时方程5x²+15x+4k-4=0变为4x²+12x+9=（2x+3）²=0，
∴x=-$\frac{3}{2}$，
y=-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$）+$\frac{61}{16}$=$\frac{73}{16}$．
∴点N的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{73}{16}$）．

点评 本题考查了待定系数求二次函数解析式以及根的判别式，解题的关键是：（1）求出点A、点B的坐标；（2）求出直线EN的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形的面积公式通过直线与抛物线相切来求极值是关键．