如图.在矩形ABCD中.BC=1.∠CBD=60°.点E是AB边上一动点.连接DE.过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.连接EF交CD于点G．(1)求证:△ADE∽△CDF,(2)求∠DEF的度数,(3)设BE的长为x.△BEF的面积为y．①求y关于x的函数关系式.并求出当x为何值时.y有最大值,②当y为最大值时.连接BG.请判断此时四边形BGDE的形状.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．如图，在矩形ABCD中，BC=1，∠CBD=60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．

（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）求∠DEF的度数；
（3）设BE的长为x，△BEF的面积为y．
①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；
②当y为最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并说明理由．

分析（1）根据平行四边形的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，根据余角的性质得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形得到CD=$\sqrt{3}$，根据矩形的性质得到AD=BC=1．AB=CD=$\sqrt{3}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）①根据相似三角形的性质得到CF=3-$\sqrt{3}$x，根据三角形的面积公式得到函数的解析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论；②根据当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，y有最大值，得到BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=1，BF=2，根据相似三角形的想得到CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到BE=DG，由于BE∥DG，即可得到结论．

解答解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠A=∠ADC=∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCF=90°，
∵DF⊥DE，
∴∠A=∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF；

（2）∵BC=1，∠DBC=60°，
∴CD=$\sqrt{3}$，
在矩形ABCD中，
∵AD=BC=1．AB=CD=$\sqrt{3}$，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵tan∠DEF=$\frac{DF}{DE}$，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DEF=60°；

（3）①∵BE=x，
∴AE=$\sqrt{3}$-x，
∵△ADE∽△CDF，
∴$\frac{AE}{CF}=\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=3-$\sqrt{3}$x，
∴BF=BC+CF=4-$\sqrt{3}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$x（4-$\sqrt{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x，
∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²+2x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，y有最大值；
②y为最大值时，此时四边形BGDE是平行四边形，
∵当x为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，y有最大值，
∴BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CF=1，BF=2，
∵CG∥BE，
∴△CFG∽△BFE，
∴$\frac{CG}{BE}=\frac{CF}{BF}$，
∴CG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BG=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=DG=BG，∵BE∥DG，
∴四边形BGDE是菱形．