题目内容
3．如图，一菜地为直角三角形ABC，有∠BAC=90°，AC=60米，AB=80米，BC边为一小河，现在需要将菜地平均分配，且每一块地都面临小河以方便取水灌溉．（1）试在图1，图2中，用两种不同方案画出等分成两部分的分割线，并分别求出分割线的长度．
（2）试在图3中画出分割线（需必要的说明），并求出该分割线的总长度，要求：①分成三部分面积相等；②为减少土地损失，分割线总长度要求最小．
分析 （1）先根据勾股定理求斜边BC=100米，再求S△ABC=2400米2；如图1，考虑面积一半为1200米2，令一边BD=60米，过D作AC的平行线，交BC于E，根据相似得DE=40米，则S△BDE=$\frac{1}{2}$S△ABC，且割线DE=40米；如图2，根据三角形中线的性质平分三角形面积，即可得出作法，求出即可．
（2）如图3中，分割线分别为EF、MN，当BE=BF，CM=CN，S△BEF=S△CMN=800时，分割线之和最小．利用相似三角形的性质分别求解即可．
解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AC=60米，AB=80米，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{6{0}^{2}+8{0}^{2}}$=100米，
如图1，根据相似三角形面积比是相似比的平方，我们可以过直角边AB上一点D，作平行于另一直角边的直线，将三角形分成两部分，面积相等，边长比为1：$\sqrt{2}$，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{BD}{80}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$
如图2，取BC的中点，连接AD，则BD=CD，
根据等底同高的两个三角形面积相等，得：S△ABD=S△ADC；
AD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×100=50米，
则此时分割线的长度为50米．
（2）如图3中，
分割线分别为EF、MN，当BE=BF，CM=CN，S△BEF=S△CMN=800时，分割线之和最小．
作EH⊥BC于H，MG⊥BC于G．
∵∠B=∠B，∠EHB=∠A，
∴△BEH∽△BCA，
∴EH：BH：BE=3：4：5，设EH=3k，则BH=4k，BE=5k，HF=k，EF=$\sqrt{10}$k，
∵S△BEF=$\frac{1}{2}$•3k•5k=800
∴k=$\frac{8\sqrt{15}}{3}$，
∴EF=$\frac{40\sqrt{6}}{3}$，
同理CG：GM：CM=3：4：5，设CG=3k，MG=4k，CM=5k，则GN=2k，MN=2$\sqrt{5}$k，
∵$\frac{1}{2}$×5k•4k=800，
∴k=4$\sqrt{5}$，
∴MN=40，
∴分割线之和为40+$\frac{40\sqrt{6}}{3}$．
点评 本题主要考查的是作图--应用与设计作图，此题主要考查三角形的面积等分问题；用到的知识点为：三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，解题的关键是理解题意，第二个问题关键是分割成两个等腰三角形时，分割线最短，属于中考常考题型．
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