Question

12．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，且关于x的一元二次方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，有下列结论：①b²-4ac＞0②abc＜0③2a+b＜0④m＞2其中，正确的是结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根据判别式的意义可对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，由抛物线的对称轴方程得到b=-2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程可对③进行判断；利用二次函数的最大值为2可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∵b=-2a，
∴2a+b=0，所以③错误；
∵方程ax²+bx+c-m=0没有实数根，
即ax²+bx+c=m没有实数根，
而二次函数y=ax²+bx+c的最大值为2，
∴m＞2，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．，抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数．△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．