Question

如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）如图2，设M、N分别是BD、CE的中点，求证：△AMN也是等腰直角三角形；
（3）如图3，设BD交CE于H，求证：AH平分∠BHE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据在等腰直角△ABC和等腰直角三角形ADE，可得出全等的条件：AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE=90°，即可证明：△ADF≌△CEF；
（2）根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求得．
（3）根据三角形全等的判定和性质即可求得．

解答：（1）∵，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
在△ABD与△ACE中

AB=AC ∠BAD=∠CAE=90° AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），

（2）∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∵M、N分别是BD、CE的中点，
AM=BM=DM=

1

2

BD，AN=CN=NE=

1

2

CE，
∴AM=AN，∠CAN=∠ACE=∠ABD，∠MAD=∠MDA，
又∵∠ABD+∠MDA=90°，
∴∠CAN+∠MAD=90°，
△AMN是等腰直角三角形．

（3）过A点作AG⊥BD，AF⊥CE，
在△ABG与△FCA中

∠ABG=∠ACF ∠AGB=∠AFC=90° AB=AC

∴△ABG≌△CAF（AAS）
∴AG=AF，
∴AH平分∠BHE．

点评：此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的性质和等腰直角三角形的性质，稍微有点难度，属于中档题．