Question

如图，反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．
（1）证明：△OCE与△OAD面积相等；
（2）若CE：EB=1：2，求BD：BA的值；
（3）若四边形ODBE面积为6，求反比例函数的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）直接利用反比例函数的比例系数的几何意义直接回答即可；
（2）首先设出点E的坐标，然后表示出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点D的坐标，进而求出BD：BA的值；
（3）设M点坐标为（a，b），而M点在反比例函数图象上，则k=ab，即y=

ab

x

，由点M为矩形OABC对角线的交点，根据矩形的性质易得A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），利用坐标的表示方法得到D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，而点D、点E在反比例函数y=

ab

x

的图象上（即它们的横纵坐标之积为ab），可得D点的纵坐标为

1

2

b，E点的横坐标为

1

2

a，利用S_矩形OABC=S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，得到2a•2b=

1

2

•2a•

1

2

b+

1

2

•2b•

1

2

a+6，求出ab，即可得到k的值．

解答：解：（1）∵四边形OABC为矩形，
∴BC⊥OC，BA⊥OA，
∴S_△OCE=S_△OAD=

k

2

，
∴△OCE与△OAD面积相等；

（2）∵CE：EB=1：2，
∴设点E的坐标为（m，n），则点B的坐标为（3m，n）．
设点D坐标为（3m，y），
∵E（m，n），D（3m，y）均在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=mn=3my，解得y=

1

3

n．
∴DA=

1

3

n，BD=BA-DA=

2

3

n，
∴BD：BA=

2

3

n：n=2：3．

（3）设M点坐标为（a，b），则k=ab，即y=

ab

x

，
∵点M为矩形OABC对角线的交点，
∴A（2a，0），C（0，2b），B（2a，2b），
∴D点的横坐标为2a，E点的纵坐标为2b，
又∵点D、点E在反比例函数y=

ab

x

的图象上，
∴D点的纵坐标为

1

2

b，E点的横坐标为

1

2

a，
∵S_矩形OABC=S_△OAD+S_△OCE+S_{四边形ODBE}，
∴2a•2b=

1

2

•2a•

1

2

b+

1

2

•2b•

1

2

a+6，
∴ab=2，
∴k=2．

点评：本题考查了反比例函数综合题：先设反比例函数图象上某点的坐标，然后利用矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特点表示其它有关点的坐标，然后利用面积公式建立等量关系，从而解决问题．