Question

7．如图：在△ABC，∠C=90°，AB=10，AC=8，P为AB上一动点，以每秒2个单位的速度从A向B点运动，点E以每秒1个单位速度从点C出发向A点运动，问经几秒后以A，P，E为顶点的三角形和△ABC相似？如果点E改为C出发向点B运动，情况又怎样了呢？

Answer 1

分析 需要分类讨论：∠AEP=90°或∠APE=90°两种情况．结合相似三角形的对应边成比例进行解答．

解答 解：设经过t秒，后以A，P，E为顶点的三角形和△ABC相似．
①当△AEP∽△ABC时，$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$，即$\frac{8-t}{10}$=$\frac{2t}{8}$，
解得t=$\frac{16}{7}$；
②当△APE∽△ABC时，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，即$\frac{8-t}{8}$=$\frac{2t}{10}$，
解得t=$\frac{40}{13}$；
综上所述，经$\frac{16}{7}$或$\frac{40}{13}$秒后以A，P，E为顶点的三角形和△ABC相似．
如果点E改为C出发向点B运动，由于△APE不是直角三角形，所以这两个三角形不可能相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定．对于动点问题，应该分类讨论，以防漏解．