Question

12．如图，在正方形ABCD中，取AD、CD边的中点E，F，连接CE，BF交于点G，连接AG．证明：AG=AB．

Answer 1

分析 如图，连接EB，先证明△DEC≌△CFB，△AEB≌CFB，得∠DEC=∠CFB，∠AEB=∠BFC，由∠DEC+∠DCE=90°，∠CFB+∠DCE=90°推出∠FGC=∠EGB=90°，再证明A、B、G、E四点共圆，得∠AGB=∠AEB，由此可以证明∠AGB=∠ABG．

解答 证明：如图，连接EB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD，∠D=∠DAB=∠ABC=∠BCF=90°，
∵AE=DE，DF=FC，
∴AE=DE=DF=FC
在△DEC和△CFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=CF}\\{∠D=∠BCF}\\{DC=BC}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△CFB，
同理△AEB≌CFB，
∴∠DEC=∠CFB，∠AEB=∠BFC
∵∠DEC+∠DCE=90°，
∴∠CFB+∠DCE=90°
∴∠FGC=∠EGB=90°，
∴∠EAB+∠EGB=180°，
∴A、B、G、E四点共圆，
∴∠AGB=∠AEB=∠BFC，
∵CD∥AB，
∴∠BFC=∠FBA，
∴∠AGB=∠ABG，
∴AG=AB．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，解题的关键是四点共圆的发现，为证明角相等提供了方便，属于中考常考题型．