Question

7．已知等边△ABC，M是边BC延长线上一点，连接AM交△ABC的外接圆于点D，延长BD至N，使得BN=AM，连接CN，MN，解答下列问题：
（1）猜想△CMN的形状，并证明你的结论；
（2）请你证明CN是⊙O的切线；
（3）若等边△ABC的边长是2，求AD•AM的值．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定定理得到△BCN≌△ACM，由全等三角形的性质得到CN=CM，∠BCN=∠ACM，求得∠MCN=∠ACB=60°，即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ACO=∠BCO=$\frac{1}{2}∠$ACB=30°，根据角的和差得到∠OCN=90°，根据切线的判定定理得到结论；
（3）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

解答 解：（1）△CMN是等边三角形，
理由：在△BCN与△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBN=∠CAM}\\{BN=AM}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ACM，
∴CN=CM，∠BCN=∠ACM，
∴∠BCN-∠ACN=∠ACM-∠ACN，
即∠MCN=∠ACB=60°，
∴△CMN是等边三角形；
（2）连接OA．OB．OC，
在△BOC与△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{AC=BC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△AOC，
∴∠ACO=∠BCO=$\frac{1}{2}∠$ACB=30°，
∵∠ACB=∠MCN=60°，
∴∠ACN=60°，
∴∠OCN=90°，
∴OC⊥CN，
∴CN是⊙O的切线；
（3）∵∠ADB=∠ACB=60°，
∴∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠MAB，
∴△ABD∽△AMB，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AD}{AB}$，
∴AD•AM=AB²=2²=4．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性质是解题的关键．