Question

2．如图，等边△ABC的边长是6，动点M、N分别同时从B、C出发，沿边BC、CA以1个单位/秒的速度运动（动点M、N分别到达C、A时停止运动），AM、BN交于点P，运动时间是t秒．
（1）①求证：AM=BN；②求∠BPM的度数；
（2）连接PC，当PC⊥AM时，求t的值；
（3）当M从点B运动至点C时，直接写出点P运动的路径长．

Answer 1

分析 （1）①轨迹等边三角形的性质、全等三角形的判定定理证明△ABM≌△BCN，得到AM=BN；
②根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质计算即可；
（2）根据圆内接四边形的判定和性质得到∠MNC=∠MPC=90°，根据∠NCM=60°列出方程，解方程即可；
（3）根据题意确定点P运动的路径长，根据弧长公式计算即可．

解答 解：（1）①由题意得，BM=CN，∠ABC=∠ACB=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠BCN}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN，
∴AM=BN；
②∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BPM=∠ABP+∠BAM=∠ABP+∠CBN=60°；
（2）连接MN，
∵∠APN=∠ACM=60°，
∴P、M、C、N四点共圆，
∴∠MNC=∠MPC=90°，
∵∠NCM=60°，
∴MC=2CN，即6-t=2t，
解得，t=2，
答：当PC⊥AM时，t=2；
（3）∵∠BPM=60°，
∴∠APB=120°，
∴点P运动的路径长是以AB为弦、圆周角∠APB=120°的弓形的弧长，
如图2，∵∠APB=120°，
∴∠AOB=120°，
∴OB=$\frac{BH}{sin∠BOH}$=2$\sqrt{3}$，
点P运动的路径长为：$\frac{120π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}π$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、点的轨迹的确定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、直角三角形的性质是解题的关键．