Question

16．如图，?ABCD中，E为AD边的中点，把△ABE沿BE翻折，得到△FBE，连接DF并延长交BC于G．
（1）求证：四边形BEDG为平行四边形．
（2）若BE=AD=10，且?ABCD的面积等于60，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）根据折的性质得到AE=EF，∠AEB=∠FEB，由平角的定义得到∠AEB=$\frac{1}{2}$（180°-∠DEF），由三角形的内角和得到∠EDF=$\frac{1}{2}$（180°-∠DEF），根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）由平行四边形的性质得到DE=BG，DG=BE=10，S_△ABE=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ABCD}=15，连接AF交BE于H，于是得到AH⊥BE，AH=HF，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵把△ABE沿BE翻折，得到△FBE，
∴AE=EF，∠AEB=∠FEB，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$（180°-∠DEF），
∵E为AD边的中点，
∴AE=DE，
∴DE=EF，
∴∠EDF=∠EFD，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$（180°-∠DEF），
∴∠AEB=∠EDF，
∴BE∥DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥BG，
∴四边形BEDG为平行四边形；

（2）解：如图，∵四边形BEDG为平行四边形，
∴DE=BG，DG=BE=10，
∵四边形ABCD是平行四边形，AE=DE，?ABCD的面积等于60，
∴S_△ABE=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形ABCD}=15，
连接AF交BE于H，则AH⊥BE，AH=HF，
∵BE=10，
∴AH=3，
∴AF=6，
∵BE∥DG，
∴AF⊥DG，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=8，
∴FG=DG-FD=2．

点评 本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练正确折叠的性质是解题的关键．