Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等腰△ABC，CA=CB，点A在x轴负半轴上，点B在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，AB=OC，△ABC的面积为32，点D为AC中点，过点D作x轴的平行线交y轴于点E．
（1）求直线AC解析式及点E坐标；
（2）直线AC以1个单位/秒的速度水平向右平移，平移的时间为t（t＞0）秒，直线AC平移后分别交x轴，y轴于点M，N，设NE的长为y，求y与t之间的函数关系，并写出相应的自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点P为直线DE上一点，是否存在t值使△MNP为等腰直角三角形？若存在求t值及EP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据三角形ABC的面积求出AB和OC的长，得出点A和点C的坐标，用待定系数法求出直线AC的解析式；由DE∥X轴，D是AC的中点得出E是OC的中点，求出点E坐标；
（2）由直线AC平移得出平行线证出三角形相似，求出y与t的函数关系式，由三种位置情形，两个解；
（3）满足△MNP为等腰直角三角形的情形由两种，根据三角形全等求出t的值以及EP的长；t的值和EP的长都有2个解．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b；
∵S△ABC=

1

2

AB×OC，AB=OC=32，
∴AB=OC=

64

=8，
∴点C（0，8），
∵CA=CB，OC⊥AB，
∴OA=OB=

1

2

AB=4，
∴点A（-4，0），
把点A（-4，0），C（0，8）代入y=kx+b得：

-4k+b=0 b=8

，解得

k=2 b=8

，
∴直线AC的解析式为y=2x+8；
∵DE∥AB，D是AC的中点，
∴E为OC的中点，∴E（0，4）；
（2）根据题意，有三种情形：
①当0＜t≤2时，如图1所示：
∵MN∥AC，∴△OMN∽△OAC，∴

NE

GE

=

OC

OA

=

8

4

=2，∴NE=2GE，
∵DE=2，GE=2-t，∴NE=4-2t，即y=4-2t；
②当2＜t≤4时，如图2所示：
同①得

NE

HE

=2，∴NE=2HE，∵HE=t-2，∴NE=2t-4，即y=2t-4；
③当t＞4时，如图3所示：
同理可得y=2t-4；
综上所述：y与t的函数关系式为y=4-2t（0＜t≤2），或y=2t-4（t＞2）；
（3）满足条件的有两种情形：
①当2＜t≤4时，如图4所示：
∵∠MNP=90°，∠MON=90°，
∴∠ONM+∠PNE=90°，∠ONM+∠OMN=90°，
∴∠PNE=∠OMN，
∵PE∥x轴，∴∠PEN=90°，
∴∠PEN=∠MON=90°，又∵PN=MN，
∴△PEN≌△NOM，∴EN=OM，EP=ON，
∵OM=4-t，ON=8-2t，∴EN=4-（8-2t）=2t-4，
∴4-t=2t-4，解得t=

8

3

；EP=8-2t=

8

3

；
②当t＞4时，如图5所示：
同理可得△PMF≌△NMO，∴MF=OM，PF=ON；
∵MF=OE=4，OM=t-4，∴t-4=4，∴t=8；PF=ON=2t-8=8；
∴EP=8-4=4；

因此，t的值为

8

3

或8；EP的长为

8

3

或4．

点评：（1）根据三角形面积求出AB和OC的长，确定点A和C的坐标，求出直线AC解析式以及点E坐标；（2）由平行线证出三角形相似，得出y与t的函数解析式；（3）根据满足条件的两种情形，运用三角形全等求出t的值和EP的长度．