Question

如图，已知A（3，0）、B（0，4），以A为顶点的抛物线与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设M（m，n）是抛物线上的一点（m、n为正整数），且它位于对称轴的右侧．若以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将B点坐标代入求解即可；
（2）由于M在抛物线的图象上，根据（1）所得抛物线的解析式即可得到关于m、n的关系式：n=

4

9

（m-3）²，由于m、n同为正整数，因此m-3应该是3的倍数，即m应该取3的倍数，可据此求出m、n的值，再根据“以M、B、O、A为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数”将不合题意的解舍去，即可得到M点的坐标；

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-3）²，
把点B（0，4），代入得9a=4，解得a=

4

9

，
所以抛物线的解析式为y=

4

9

（x-3）²，
（2）∵m、n为正整数，n=

4

9

（x-3）²，
∴（x-3）²应是9的倍数，
∴m是3的倍数，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12，
当m=6时、n=4，
此时MA=5，MB=6，
∴当M≥9时，MB＞6，
∴四边形OAMB四条边的长度不是四个连续的正整数，
∴点M的坐标只有一种可能（6，4）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定以及二次函数最值的应用，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．