Question

2．如图，点B在线段AF上，分别以AB、BF为边在线段AF的同侧作正方形ABCD和正方形BFGE，连接CF和DE，CF交EG于H．
（1）若E是BC的中点，求证：DE=CF；
（2）若∠CDE=30°，求$\frac{HG}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据线段中点的定义可得BE=CE，再根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF；
（2）设CE=x，根据∠CDE的正切值表示出CD，然后求出BE，从而得到∠BCF的正切值，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根据等角的正切值相等解答即可．

解答 （1）证明：∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，
∴BF=CE，
在△BCF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠CBF=∠DCE=90°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CDE（SAS），
∴DE=CF；

（2）解：设CE=x，∵∠CDE=30°，
∴tan∠CDE=$\frac{x}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$x，
∵正方形ABCD的边BC=CD，
∴BE=BC-CE=$\sqrt{3}$x-x，
∵正方形BFGE的边长BF=BE，
∴tan∠BCF=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}x-x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，
∵正方形BGFE对边BC∥GF，
∴∠BCF=∠GFH，
∵tan∠GFH=$\frac{HG}{GF}$，
∴$\frac{HG}{GF}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，（1）熟练掌握三角形全等的判定方法并准确确定出全等三角形是解题的关键，（2）用CE表示出两个正方形的边长是解题的关键，也是本题的难点．