Question

12．如图，在正方形ABCD中，线段EF，GH分别与正方形两边平行，且EF，GF相交于点M，连接AF，AH，AE的长为m，AG的长为n，矩形CFMH的面积是矩形AEMG的面积的2倍．
（1）求点H，F之间的距离．（用m，n表示）
（2）猜出∠FAH的度数，并说明你的理由．

Answer 1

分析 （1）设正方形边长为a，AG=m，GP=n，则HC=a-n，CF=a-m，根据矩形CFMH的面积是矩形AEMG的面积的2倍，得到a²-（m+n）a=mn，再根据FH²=CH²+CF²，计算即可解决问题．
（2）结论：∠FAH=45°．连结FH，延长CB到N，使BN=DF，连结AN，先证明△ABN≌△ADF，推出∠FAN=90°，再证明△ANF≌△AFH即可解决问题．

解答 （1）解：设正方形边长为a，AG=m，GP=n，则HC=a-n，CF=a-m，
∵矩形CFMH的面积是矩形AEMG的面积的2倍
∴a²-（m+n）a+mn=2mn，
∴a²-（m+n）a=mn，
在直角三角形FCH中，∵FH²=CH²+CF²，
∴FH²=（a-n）²+（a-m）²=2a²-2（m+n）a+m²+n²=（m+n）²，
∵FH＞0，
∴FH=m+n．
（2）结论：∠FAH=45°．
证明：如图，连结FH，延长CB到N，使BN=DF，连结AN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABH=∠ABN=90°，
在△ABN和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABN=∠D}\\{BN=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADF，
∴AN=AF，∠NAB=∠FAD，
∴∠NAF=∠NAB+∠BAF=∠BAF+∠FAD=90°，
∵NH=m+n，FH=m+n，
∴FH=NH，
在△AHF和△AHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AH}\\{AF=AN}\\{HF=HN}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△AFH，
∴∠HAF=∠HAN，
∵∠FAN=90°，
∴∠FAH=$\frac{1}{2}$∠FAN=45°．

点评 本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会常用辅助线的添加方法，属于中考常考题型．