Question

7．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=$\frac{k^2}{x}$（x＜0，k是不等于0的常数）图象上一点，AO的延长线交函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象于点C．点A关于y轴的对称点为A′；点C关于x轴的对称点为C′，关于原点对称点是C′′．连结CC′，交x轴于点B，连结AB，AA′，A′C′，若△ABC的面积等于2，则四边形A A′C′C′′的面积等于（　　）

• A． 7
• B． 8
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 延长CC′交AA′于点E，令C′C″、AA′与y轴的交点分别为M、N点，由反比例函数系数k的几何意义可得知S_△OBC=$\frac{1}{2}$，结合S_△ABC=2以及三角形的面积公式即可得出AE=4OB，即AN=3OB；结合对称点的性质可得出△OC″M∽△OAN，根据相似三角形的性质即可得出$\frac{OM}{ON}=\frac{C″M}{AN}$=$\frac{1}{3}$，由此得出MN=2BC，结合梯形的面积公式以及三角形的面积公式即可得出S_{梯形AA′C′C″}=16S_△OBC，由此得出结论．

解答 解：延长CC′交AA′于点E，令C′C″、AA′与y轴的交点分别为M、N点，如图所示．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=2，S_△OBC=$\frac{1}{2}$BC•OB=$\frac{1}{2}$×|1|=$\frac{1}{2}$，
∴AE=4OB，
又∵OB=NE，
∴AN=3OB．
∵点A关于y轴的对称点为A′；点C关于x轴的对称点为C′，关于原点对称点是C″，
∴BC=BC′，AN=A′N=3OB，C′M=C″M=OB．
∵C″M⊥y轴，AN⊥y轴，
∴C″M∥AN，
∴△OC″M∽△OAN，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{C″M}{AN}$=$\frac{1}{3}$，
∴MN=ON-OM=2OM=2BC．
S_{梯形AA′C′C″}=$\frac{1}{2}$（C′C″+AA′）•MN=$\frac{1}{2}$（2OB+6OB）•2BC=8OB•BC=16•S_△OBC=8．
故选B．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、对称点的性质以及三角形（平行四边形）的面积公式，解题的关键是找出S_{梯形AA′C′C″}=16S_△OBC．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，利用等底三角形的面积公式找出高与高之间的比例，再结合相似三角形的性质得出边的比例关系是关键．