Question

4．已知，如图，AB为直径，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内心，延长CP交圆于点D，连接BP．
（1）求证：BD=DP；
（2）已知⊙O的半径是3$\sqrt{2}$，CD=8，求ED的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由内心得出∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP，∠ABD=∠ACD=45°，由三角形的外角性质得出∠DPB=∠DBP，即可得出结论；
（2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD=45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=6，证明△DBE∽△DCB，得出对应边成比例，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠ACD=∠BCP=45°，∠CBP=∠EBP，
∴∠ABD=∠ACD=45°，
∵∠DPB=∠BCP+∠CBP=45°+∠CBP，∠DBP=∠ABD+∠EBP=45°+∠EBP，
∴∠DPB=∠DBP，
∴BD=DP；
（2）解：连接AD，如图所示：
∵AB是直径，∠ABD=45°，
∴AB=6$\sqrt{2}$，△ABD是等腰直角三角形，
∴BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6$\sqrt{2}$=6，
∵∠EDB=∠BDC，∠ABD=∠BCD，
∴△DBE∽△DCB，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DE}{BD}$，
∴DE=$\frac{B{D}^{2}}{CD}$=$\frac{{6}^{2}}{8}$=4.5．

点评 本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）中，需要证明三角形相似得出比例式才能得出结果．