Question

16．如图，已知△A₁BC中，∠A₁=64°，BA₂平分∠A₁BC，CA₂平分∠A₁CE，BA₂、CA₂相交于A₂；BA₃平分∠A₂BC，CA₃平分∠A₂CE，BA₃、CA₃相交于A₃，依此类推．
（1）求∠A₂的值；
（2）求∠A₅的值．

Answer 1

分析 （1）由三角形的外角性质知：∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC，而∠A₂=$\frac{1}{2}$（∠A₁BC-∠A₁CD），即∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，由此得解．
（2）由（1）的求解过程，易得出：∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A₁，依此类推即可求得∠A₅的值．

解答 解：（1）△A₁BC中，∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC，
∵A₂是∠A₁BC角平分与∠A₁CD的平分线的交点，
∴∠A₂=∠A₂CD-∠A₂BC=$\frac{1}{2}$（∠A₁CD-∠A₁BC）=$\frac{1}{2}$∠A₁；
故∠A₂=32°；

（2）由（1）的求解过程，易知：
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A₁，
∠A₄=$\frac{1}{2}$∠A₃=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A₁，
∠A₅=$\frac{1}{2}∠$A₄=$\frac{1}{{2}^{4}}$∠A₁=4°．

点评 本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质．角平分线的定义，正确的找出规律是解题的关键．