题目内容
15．如图1，点A、B在数轴上分别表示有理数-2和5．P是数轴上的一个动点，表示数a．（1）用含a的式子表示线段AP+BP=7或3-2a或2a+7（提示：AP表示线段AP的长度）
（2）点P运动过程中，线段AP+BP的最小值为7：
（3）如图2，点Q为平面内一点，若QH=4．是否存在动点P，使得△APQ、△BPQ的面积的和为18．若存在，求此时点P在数轴上所表示的有理数．若不存在，请说明理由．
分析 （1）分点P在AB之间、点P在点A左侧、点P在点B右侧三种情况，根据两点间的距离公式可得；
（2）由（1）可得；
（3）根据S△APQ+S△BPQ=18，知$\frac{1}{2}$AP•QH+$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$QH•（AP+BP），在结合（1）中所列情况逐一计算即可得知．
解答 解：（1）当点P在AB之间时，AP+BP=a+2+5-a=7，
当点P在点A左侧时，AP+BP=-2-a+5-a=3-2a，
当点P在点B右侧时，AP+BP=a+2+a+5=2a+7，
故答案为：7或3-2a或2a+7；
（2）由（1）知，AP+BP的最小值为7，
故答案为：7；
（3）存在，
∵S△APQ+S△BPQ=18，
∴$\frac{1}{2}$AP•QH+$\frac{1}{2}$BP•QH=$\frac{1}{2}$QH•（AP+BP）
①当点P在AB之间时，AP+BP=a+2+5-a=7，
∴$\frac{1}{2}$×4×7=14≠18；
②当点P在点A左侧时，AP+BP=-2-a+5-a=3-2a，
∴$\frac{1}{2}$×4（3-2a）=18，
解得：a=-3；
③当点P在点B右侧时，AP+BP=a+2+a+5=2a+7，
∴$\frac{1}{2}$×4（2a+7）=18，
解得：a=1＜5（舍）；
∴当a=-3时，△APQ、△BPQ的面积的和为18．
点评 本题主要考查图形的变化，熟练掌握两点间的距离公式及分类讨论是解题的关键．
练习册系列答案
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